สำนักราชบัณฑิตยสภา

The Journal of the Royal Institute of Thailand Vol. 27 No. 1 Jan.-Mar. 2002 ‡√¢“§≥‘ µæ√à Õß®”π«π Òˆˆ ª√‘ ¡“µ√ V(R) ¢Õß∫√‘ ‡«≥∑’Ë ¡’ ¢Õ∫‡¢µµ“¡¡“µ√“ à «π∑’Ë °”Àπ¥ ®–·ª√º— πµ“¡¢π“¥ ‡™‘ ߇ â π√— »¡’ (R) ¢Õß«— µ∂ÿ π—È π µ“¡ Ÿ µ√ V(R) ~ R D ‚¥¬∑’ Ë D ‰¡à ‡ªì π®”π«π‡µÁ ¡ (non-integer) ´÷Ë ß∂Ÿ °‡√’ ¬°«à “ ¡‘ µ‘ æ√à Õß®”π«π (fractal dimension) ¢Õß«— µ∂ÿ π—È π. µ— «Õ¬à “ߢÕß°“√À“¡‘ µ‘ „Àâ æ‘ ®“√≥“ triadic Cantor set ¥— ß„π√Ÿ ª π‘ ¬“¡¢Õß¡‘ µ‘ °”Àπ¥„Àâ d = dimension ¢Õß ª√‘ ¿Ÿ ¡‘ ∑’Ë ∫√√®ÿ «— µ∂ÿ ∑’Ë µâ Õß°“√À“¡‘ µ‘ Õ¬Ÿà ‡™à π ∂â “µâ Õß°“√À“¡‘ µ‘ D ¢Õß Cantor set ´÷Ë ß«“¥Õ¬Ÿà „π√–π“∫ °Á ®–‰¥â d = Ú ‡π◊Ë Õß®“°√–π“∫¡’ ¡‘ µ‘ = Ú „π‡ â πµ√ß, §”«à “ çbox ¡‘ µ‘ Òé ®–À¡“¬∂÷ ß ™à «ß¬à Õ¬ „π√–π“∫, §”«à “ çbox ¡‘ µ‘ Úé ®–À¡“¬∂÷ ß ’Ë ‡À≈’Ë ¬¡®— µÿ √— „πª√‘ ¿Ÿ ¡‘ Û ¡‘ µ‘ , çbox ¡‘ µ‘ Ûé ®–À¡“¬∂÷ ß ≈Ÿ °∫“»°å ∂â “«— µ∂ÿ π—È π‡ªì π ’Ë ‡À≈’Ë ¬¡®— µÿ √— §«“¡¬“«¥â “π Ò Àπà «¬, N(1) = 1 1 1 -2 N = 4 = 2 2 1 1 -2 N = 16 = 4 4 1 1 -2 N = 2 6 = ,etc 8 8 1 1 -2 => N = 2 2k = 2 k 2 k N( l ) = l -2 - π‘ ¬“¡„Àâ ¡‘ µ‘ ¢Õß«— µ∂ÿ π—È π §◊ Õ lnN( l ) D = lim l → 0 ln( l / l ) µ— «Õ¬à “߇™à π ∂â “«— µ∂ÿ π—È π‡ªì π‡ â πµ√ß ln( l -1 ) D = lim = 1 l → 0 ln( l -1 ) ∂â “«— µ∂ÿ π—È π‡ªì π ’Ë ‡À≈’Ë ¬¡®— µÿ √— §«“¡¬“«¥â “π Ò Àπà «¬ ln( l -1 ) D = lim = 2 l → 0 ln( l -1 ) «‘ ∏’ °“√ √â “ß ¢—È π∑’Ë Ò µ— ¥™à «ß [, Ò] ÕÕ° ‡ªì π Û à «π‡∑à “Ê °— π ·≈â «¥÷ ß™à «ß¬à Õ¬ §«“¡¬“« µ√ß°≈“ßÕÕ° ¢—È π∑’Ë Ú µ— ¥ Ú ™à «ß¬à Õ¬∑’Ë ‡À≈◊ Õ ÕÕ°‡ªì π Û à «π‡∑à “Ê °— π ·≈â «¥÷ ß™à «ß ¬à Õ¬§«“¡¬“« µ√ß°≈“ß∑—È ß Ú ÕÕ° ∑”µà Õ‰ª´È ”Ê „π∑”πÕ߇¥’ ¬« °— ππ’ È Õ¬à “ß‰¡à √Ÿ â ®∫. «— µ∂ÿ ∑’ Ë ‰¥â ‡√’ ¬°«à “ triadic Cantor set. «‘ ∏’ π‘ ¬“¡¡‘ µ‘ D «‘ ∏’ Àπ÷Ë ß§◊ Õ : - „Àâ N( l ) ‡ªì π®”π«π box (¡‘ µ‘ d) ´÷Ë ß¡’ §«“¡¬“«¥â “π‡∑à “°— ∫ l ∑’Ë “¡“√∂ªî ¥«— µ∂ÿ π—È π‰¥â ¡‘ ¥ µ— «Õ¬à “߇™à π ∂â “«— µ∂ÿ π—È π‡ªì π ‡ â πµ√ß ¬“« Ò Àπà «¬, N(1) = 1 1N = 2 2 1N = 3, 3 N( l ) = l -1 1 1 / 2 1 / 2 1 2 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 2 3 4 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 1 ÒÛ Ò Û Ú