สำนักราชบัณฑิตยสภา

The Journal of the Royal Institute of Thailand Vol. 27 No. 2 Apr.-Jun. 2002 °“√æ‘ Ÿ ®πå ¡‘ µ‘ ‡«≈“‡ªì πª√‘ ¡“≥‡«°‡µÕ√å ¥â «¬§≥‘ µ»“ µ√å Ùˆ 4 4 .R.r 3 = π r 3 3 3 . . . R = π (Q.E.D) Ú.Ú °“√Õ∏‘ ∫“¬§≈◊Ë π¥â «¬ ¡°“√‡«≈“ §◊ Õ °“√Õ‘ π∑‘ °√— ≈ ®ÿ ¥ R Ò §√—È ß‡∑’ ¬∫°— ∫ t º≈≈— æ∏å ∑’Ë ‰¥â §◊ Õ ‡ â π. §≈◊Ë π∑’Ë ‰¥â √— ∫®“° ¡°“√‡«≈“ “¡“√∂ „™â Õ∏‘ ∫“¬ ¡∫— µ‘ ¢Õߧ≈◊ Ë π‡ ’ ¬ß §≈◊ Ë ππÈ ” „π«‘ ™“øî ‘ ° å ·≈–«ßªï „π«‘ ™“™’ ««‘ ∑¬“ ‰¥â . À≈— °°“√ °. ‡ â π∑’Ë ‰¥â ®“°°“√Õ‘ π∑‘ °√— ≈ ®ÿ ¥ R Ò §√—È ßÀ“°æ‘ ®“√≥“‡æ’ ¬ß Ò ∑‘ »∑“ß, ®–‰¥â ‡ â π Ò ‡ â π, ·µà À“° æ‘ ®“√≥“ Ú ∑‘ »∑“ß (´â “¬·≈–¢«“) ®–‰¥â ‡ â πÚ‡ â π∑’Ë ¡’ ®ÿ ¥‡√‘Ë ¡µâ π∑’Ë ‡¥’ ¬«°— π (√Ÿ ª∑’Ë ¯). ¢. ‡¡◊ Ë Õ√Ÿ â «à “ R = π ·≈– 1t = 2r À“°·∑π§à “ R ¥â «¬ π ·≈– t ¥â «¬ 2r ≈ß„π ¡°“√∑’Ë Ú ®–æ∫«à “ ¡°“√‡«≈“ ®–‡ª≈’Ë ¬π®“°‡¥‘ ¡ 0+Rt ‡ªì π√Ÿ ª„À¡à 0+2 π r ‘Ë ßπ’È ™à «¬„Àâ ‡ÀÁ π¿“æ„À¡à Õ’ ° ¿“æÀπ÷Ë ß´÷Ë ß — ¡æ— π∏å °— π °≈à “«§◊ Õ ¿“懥‘ ¡∑’Ë ‡ÀÁ π®ÿ ¥Ê Àπ÷Ë ß ·≈–‡¡◊Ë Õ ‡«≈“‡æ‘Ë ¡¢÷È π®ÿ ¥®–°≈“¬‡ªì π‡ â ππ—È π, ¿“æ„À¡à ∑’Ë ‰¥â §◊ Õ ‡¡◊Ë Õæ‘ ®“√≥“¡‘ µ‘ ‡«≈“¢Õß®ÿ ¥ Ò ®ÿ ¥ ®ÿ ¥®–°≈“¬‡ªì π ‡ â π√Õ∫«ß ‚¥¬¡’ ‡ â πºà “»Ÿ π¬å °≈“ß 2r ≥ ‡«≈“ t = 1. ¿“æ´â “¬¡◊ Õ‡ª√’ ¬∫‰¥â ‡À¡◊ Õπ Àπ— ߬“ß Ò ‡ â π ∑’ Ë ¡Õߥ⠓π¢Õ∫Àπ— ß ¬“ß„π√–¥— ∫ “¬µ“æÕ¥’ ´÷Ë ß®–‡ÀÁ π Àπ— ߬“߇ªì π‡ â πµ√߇∑à “π—È π. à «π „π¿“梫“¡◊ Õ§◊ ÕÀπ— ߬“߇ â π‡¥‘ ¡∑’Ë ∂Ÿ ° À¡ÿ π„Àâ ‡ÀÁ π¢Õ∫¢ÕßÀπ— ߬“ß∑— È ßÀ¡¥. ¥— ßπ—È πÀ“°‡æ‘Ë ¡§à “ t ®“° t = Ò ‡ªì π t = Ú ·≈– t = Û ®–‡ÀÁ π°“√ ‡ª≈’ Ë ¬π·ª≈ß∑’ Ë ‡°‘ ¥¢÷ È π. À√◊ Õ À“° „Àâ §à “ t ‡ªì π Ò.Ò, Ò.Ú, Ò.Û, ... À√◊ Õ Ò.Ò, Ò.Ú, Ò.Û, Ò.Ù, ... ®–‡ÀÁ π¿“æ¢Õß §≈◊Ë π∑’Ë §à Õ¬Ê ¢¬“¬µ— «ÕÕ°‰ª°«â “ß ¢÷È π‡√◊Ë Õ¬Ê ®π„π∑’Ë ÿ ¥°Á ∂÷ ߢÕ∫ ÿ ¥∑â “¬ ¢Õß¡— π. §«“¡ — ¡æ— π∏å ¥— ß°≈à “«„™â Õ∏‘ ∫“¬«ßªï ¢Õßµâ π‰¡â ·≈– §≈◊Ë ππÈ ” ´÷Ë ß‡°‘ ¥¢÷È π‡¡◊Ë Õ‚¬π°â ÕπÀ‘ π≈߉ª„ππÈ ” π‘Ë ß. πÕ°®“°π—È π §≈◊Ë π‡ ’ ¬ß∑’Ë ‡ª≈à ß ÕÕ°¡“®“°≈”§Õ °Á “¡“√∂Õ∏‘ ∫“¬‰¥â ¬‘Ë ß‰ª°«à “π—È πÀ“°æ‘ ®“√≥“ Û ¡‘ µ‘ ·≈â « ®–‰¥â æ∫°— ∫√Ÿ ª§≈◊Ë π∑’Ë ¡∫Ÿ √≥å ®“° ¡°“√‡«≈“ ¥— ß√Ÿ ª∑’Ë Ò. ·≈–∑’Ë ”§— ≠∑’Ë ÿ ¥ ¡°“√‡æ’ ¬ß ¡°“√‡¥’ ¬« “¡“√∂„™â Õ∏‘ ∫“¬‡√◊Ë Õß √“« Ù Õ¬à “ß: ‡√◊ Ë Õß·√°‡°’ Ë ¬«¢â Õß°— ∫ √Ÿ ª∑’ Ë ¯ √Ÿ ª∑“ß´â “¬· ¥ß√Ÿ ª√à “ß¢Õߧ«“¡À¡“¬ 0 +Rt ≥ t = 0 ·≈– 1, à «π√Ÿ ª∑“ߢ«“ · ¥ß√Ÿ ª√à “ß¢Õߧ«“¡ À¡“¬ 0 +2 π r √Ÿ ª∑’ Ë ˘ · ¥ß§«“¡ — ¡æ— π∏å √–À«à “ß §à “ R §à “ r ·≈– §à “ t ≥ §à “ t = , Ò, Ú, ·≈– Û √Ÿª∑’ Ë Ò · ¥ß§≈◊Ë π·∫∫ Û ¡‘ µ‘ ®“° ¡°“√‡«≈“ -R 0 R t = 1 t = 0 t = 1 -3R -2R -R 0 R 2R 3R t = 3 t = 2 t = 0 t = 2 t = 3 r r